Bachillerato

Reto 19 – Tablero de ajedrez infinito

En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier pareja de enteros positivos m y n, considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyas aristas, de longitudes m y n, caen sobre lados de cuadrados. Sea s1 el área total de la parte negra del triángulo y s2 el área total de la parte blanca. Sea f(m,n)=|s1-s2|.

a) Calcula f(m,n) para todos los enteros positivos m y n que son ya sea ambos pares o ambos impares.
b) Prueba que f(m,n) < o = 1/2 max{m,n} para toda m y n.
c) Demuestra que no existe una constante C tal que f(m,n) <C para toda m y n.

Reto 18 – Ángulo

El ángulo A es el más pequeño del triángulo ABC. Los puntos B y C dividen al circuncírculo del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco entre B y C que no contiene a A. Las bisectrices perpendiculares de AB y AC cortan la línea AU en V y W respectivamente. Las líneas BV y CW se cortan  en T. Demuestre que AU = TB+TC.

Reto 17 – Mediatriz

Sean P y Q dos puntos distintos en el plano. Denotemos por m(Q,P) a la mediatriz del segmento que une P y Q. Sea S un subconjunto finito del plano, con más de un elemento que satisface las siguientes propiedades:

a) Si P y Q están en S, entonces m(P,Q) intersecta a S
b) Si (P, Q), (R,J) y (U,V) son tres parejas diferentes de puntos en S, entonces no existe ningún punto en S en la intersección de las lineas m(P,Q), m(R,T) y m(U,V).
Determina el número de puntos que puede tener S.

Reto 16 – Raíces de polinomio

Demuestre que si el grado de un polinomio es n, este tiene a lo más n raíces.

Reto 15 – Vértices

Un vértice se llama par si a él llega un número par de aristas y se llama impar si llegan un número impar de aristas. Demuestra que en un grafo (un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas) el número de vértices impares es par. 

Reto 14 – Calificación total

En un concurso de matemáticas se hacen 4 exámenes. En cada examen, la calificación máxima es m. ¿Cuántas formas diferentes hay de obtener 2m de calificación total?

Reto 13 – Raíces

¿Cuantas raíces tiene la ecuación x5-5x+k=0 en el intervalo [-1,1]?

Reto 12 – Cuadrilátero cíclico

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico, sea E el punto de intersección de las bisectrices A y B y sean L y M puntos sobre AD y BC, respectivamente, tales que la recta LM pasa por E y es paralela a DC. Pruebe que LA+BM=LM

Reto 11 – Polígono regular

Sean A1, A2, …, A1988 un polígono regular con lados de longitud 1. Sean C1, C2, …, C1988 circunferencias donde Ci tiene centro en Ai y radio 1/k donde k es un cuadrado perfecto. Calcular donde representa el área de la intersección de Ci con el polígono de 1988 lados.

Reto 10 – Fracciones simplificadas

Demuestre que si dos fracciones son irreductibles (simplificadas) y su suma es un entero, entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador o la suma de sus denominadores es 0.

Reto 9 –  Cuadrícula dos (Camino)

En una cuadrícula de n x n se escriben los números del 1 al n² en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo, como se ilustra en la figura para el caso n=3).

En la cuadrícula, llamamos camino a una sucesión de pasos de un cuadro a otro, desde el cuadro que tiene el número 1 hasta el que tiene el número n², de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si C es un camino, denotamos por L( C ) a la suma de los números por los que pasa el camino C.

(i) Sea M la mayor L( C ) que se puede obtener de entre todos los caminos en una cuadrícula fija de tamaño n x n y sea m la menor L( C ) (también de entre todos los caminos en una cuadrícula fija de tamaño n x n). Prueba que M-m es un cubo perfecto.
(ii) Prueba que en ninguna cuadrícula hay un camino  C tal que L( C )= 1996.

Reto 8 – Cuadrícula uno

Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6 x 6 con 18 rectángulos de 2 x 1, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6 que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6 x 5 con 15 rectángulos de 2 x 1, de tal manera que cada una de las rectas de longitudes 5 o 6 que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.

Reto 7 – Triángulos por montones

¿Cuántos triángulos no congruentes existen en los que las longitudes de sus lados son números enteros y su perímetro es 90?

Reto 6 – Polinomio simpático

Un Polinomio f con coeficientes reales se dice simpático si:

i) f(1)>1

ii) f(3) = f(1)+f(2)

iii) f(4)= f(3)+f(2)

¿Cuál es el mínimo grado que puede tener un polinomio simpático?

Reto 5 – Casino de 5 dados

Si se tienen 5 dados cúbicos, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzarlos la suma de todos sea mayor que 24?

Reto 4 – Un cubo

Considera el cubo de caras ABCD y abcd donde aA, bB, cC y dD son aristas. Supongamos que al ver la cara ABCD de frente, las letras aparecen en el sentido de las manecillas del reloj. Sea α la medida del ángulo dbC. Demuestra que sec (α) es un número primo.

Reto 3 – Un triángulo

Si se trazan tres tangentes a un círculo, de manera que formen un triángulo, demuestra que la probabilidad de que el círculo quede inscrito en el triángulo es de 1/4.

Reto 2 – ¿Fiesta o reunión?

Todas las personas que fueron a una fiesta se saludaron entre sí excepto por un pequeño grupo de personas que llegaron juntas y no se saludaron entre ellas (aunque sí saludaron a los demás). Si el número de saludos es igual al doble del número de personas que asistieron a la fiesta ¿cuántas personas había en la fiesta?

Reto 1 – El mayor entero 

¿Cuál es el mayor entero que divide a la suma de los cuadrados de tres pares consecutivos  cualesquiera?

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