Nivel principiante

Reto 2 – Historias de Peces y Crustáceos

En la década de 1920, el matemático Vito Volterra utilizó un mapeo, conocido como el mapeo logístico, para explicar las fluctuaciones periódicas de la población de peces del mediterráneo.

Consideremos una población de crustáceos y una de peces que se alimentan de los crustáceos. Vamos a suponer que los crustáceos tienen una tasa de reproducción pequeña K=1.01 y que su población inicial es X=0.6 (Una población normalizada con respecto al máximo que puedan llegar a alcanzar).

Entonces, si no consideramos que hay depredadores (o que el alimento es limitado), los crustáceos crecerían en población año con año K·X. Después de 10 años, la población de crustáceos sería K10·X. Una buena aproximación a las limitaciones de crecimiento de los crustáceos sería considerar que entre más de estos haya, menos comida habrá y más serán atractivos para los depredadores. Esto se traduce como que la población al año siguiente será K·X·(1-X) o bien, escribimos el mapeo como:

Xn=K·Xn-1·(1-Xn-1)

Es de esperarse que si K<1, entonces la población se irá reduciendo, de forma que al pasar el tiempo, poco a poco el porcentaje de crustáceos desaparecerá. ¿Pero qué pasa si K>1?

El reto se realiza en varias partes. Primero, se tiene que observar qué poblaciones se van obteniendo para valores grandes de n. Si K=1, si K=1.5, K=1.8, si K=2,si K=2.5 y si K=3. ¿Converge o no converge a algún valor?

La segunda parte del reto consiste hacer una gráfica de él o los valores de convergencia del mapeo, para n grande, como función de K. Es decir, Xn vs K.

La gráfica es especialmente bonita y forma un fractal con una región caótica.

Diviértete haciendo este programa.

Reto 1 – Raíz cuadrada en Babilonia

El cálculo de la raíz cuadrada suele ser un problema tedioso para los estudiantes de secundaria. En la antigüedad no existían las calculadoras, por lo que tener tablas de los valores de las diferentes raíces cuadradas podía ser de suma importancia en los diseños de observatorios astronómicos u otros sistemas de ingeniería.

Los babilonios fueron pioneros en el desarrollo de las matemáticas e inventaron uno de los métodos más poderosos para calcular la raíz cuadrada de un número. El método es el siguiente:

Sea x el número al que queremos sacar raíz cuadrada. Sea b una aproximación a la raíz cuadrada de x. Entonces seguiremos el siguiente algoritmo:

  1. h=x/b
  2. asignamos b=(h+b)/2
  3. h=x/b
  4. si h es aproximadamente b se detiene el algoritmo y la raíz es (h+b)/2. Si no, se vuelve al paso 2.

Como ejemplo obtendremos una aproximación a la raíz cuadrada de 2. Supongamos que es más o menos 1, entonces, b=1 y h=2. En el segundo y tercer paso, b= (2+1)/2=1.5 y h=2/1.5=1.33333333. Como aún no son tan próximos los valores, volvemos al paso 2.

b=(1.33333333+1.5)/2=2.83333333/2=1.41666667 y h=2/1.41666667=1.41176471. Ahora ya se parecen los valores de h y b, por lo que diremos que la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente (h+b)/2=1.41421569. El verdadero valor de la raíz de 2 es 1.41421356 (con 8 decimales).

El reto es implementar un programa en cualquier lenguaje de cómputo que calcule la raíz cuadrada de un número x, con un rango de error menor que delta, un número que el usuario del programa decida.

El programa debe pedir al usuario un par de números, y delta y una vez introducidos estos datos, desplegar el resultado del valor de la raíz con un rango de error menor que delta. Por ejemplo, para los valores, x=2, delta=0.00001, que el programa arroje el resultado: raíz=1.41421569.

Este reto será trivial para los expertos, pero para los iniciados en la programación es un buen ejercicio.

Nota: No se debe usar ninguna función del tipo RAIZ(x) para calcular el valor de x, ni para comparar el valor obtenido mediante el método y el valor real de la raíz cuadrada.

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